非負數

正數和零總稱為非負數，非負數可以理解為不是負數而是正數和零。例如：0、3.4、9/10、π（圓周率）。自然數和零一起．叫做非負整數。

定義

所謂非負數，是指零和正實數。非負數的性質在解題中頗有用處，常見的非負數有三種：實數的偶次冪、實數的絕對值和算術根。

類型

實數的偶次冪

若是任意實數，則(n為正整數)，特別地，當時，有。

實數的絕對值

若是實數．則

性質：絕對值最小的實數是零。

算術根被開方數

是算術根，則。

性質：一個正實數的算術根是非負數，若是實數，則。

三個實數平方和與兩兩積之和的差

其他性質

①數軸上，原點和原點右邊的點表示的數都是非負數。

②有限個非負數的和仍為非負數，即若為非負數，則。

③有限個非負數的和為零，那麼每一個加數也必為零，即若為非負數，且，則必有。

在利用非負數解決問題的過程中，這條性質使用得最多。

④非負數的積和商(除數不為零)仍為非負數。

⑤最小非負數為零，沒有最大的非負數。

⑥一元二次方程有實數根的充要條件是判別式為非負數。

應用非負數解決問題的關鍵在於能否識別並揭示出題目中的非負數，正確運用非負數向有關概念及其性質，巧妙地進行相應關係的轉化，從而使問題得到解決。

非負數的應用

利用非負數求代數式的值

例1已知．求值。

講解 由題意解得。

代入代數式得

評註 本題利用絕對值和根式的非負數性質求解，比較容易簡單。

利用非負數求最值

例2 已知為實數，求的最小值和取得最小值時的值。

講解

因為為實數，所以，所以。

所以當時，有最小值2，此時。

評註 利用非負數求最值，需對問題條件進行變形，寫成非負數形式是關鍵。

利用非負數求方程的根或個數

例3 確定方程的實數根的個數。

講解 (方法一)將原方程化為，

即，

對於任意實數x，均有，

所以恆大於0，

故無實根。

(方法二) 利用判別式判斷。

因為判別式小於零，所以無解。

評註 本題確定方程根的個數，首先判斷方程類型尤其重要。